Бу сирэй Логарифм куодун көр

[[Билэ:Binary logarithm plot with ticks.svg|альт=|мини|250x250пкс|Двоичнай логарифм графига]]
'''Логарифм''' диэн чыыһыланы хаһыс степеҥҥэ үрдэтэн бэриллибит чыыһыланы ылыахха сөбүн көрдөрөөччү. Ол эбэтэр <math>x=\log_a b</math> тэннэһэр маннык суоттааһыҥҥа <math>a^x=b</math>.Холобур: <math>\log_2 8 = 3</math>, тоҕо диэтэргин <math>2^3 = 8</math>. 

Логарифм суоттааһына '''логарифми́рование''' диэн ааттанар. Чыыһылалр <math>a, b</math> уксугэр вещественнэй буолаллар, ол кынан баран оссо комплекснай логарифмнар теориялар эмиэ баар.

Логарифмнар туспа ураты свойстволаахтар, ол быһаарыыта олус киэҥник ыарахан суоттааһыннары чэпчэтэргэ туттуллар. Логарифмнар "эйгэлэригэр" киирдэххэ төгул олус чэпчэки эбиигэ, түҥэтии - көҕүрэтиигэ, онтон степэҥҥэ киллэрии уонна кореньтан таһаары - степэҥҥэ төгүлгэ уонна түҥэтиигэ уларыйар. Лаплас этэн турардаах, логарифм айааһына, "астроном үлэтин кыччатан, олоҕун икки төгүл уһатта". (Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»).

Логарифмнар быһаарыыларын уонна таблицаларын суолтатын аан маҥнай 1614 сыллаахха шотландия математига Джон Непер таһаарбыт. Логарифмнар таблицалара атын математиктарынан кэҥэтэн туочунайдаан, тэҥҥэ научнай уонна  инжинернай суоттааһыннарга үс үйэ тухары туттуллубута, калькулятордар уонна компьютердар  айыллыахтарыгар диэри. 

Кэнники буолан баран быһаарбыттарыгар, логарифмнар функциялара <math>y=\log_a x</math> атын араас уобаластарга уларыйбат эбит: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д. Бу функция элементаарнай чыыһылаларга киирсэр, кини показательнай функцияны кытта тэҥнээн көрдөххө төттөрү. Элбэхтик вещественнэй <math>2</math> ([[Двоичный логарифм|двоичный]]), [[Число Эйлера|''<math>e</math>'']] ([[натуральный логарифм]]) уонна <math>10</math> ([[Десятичный логарифм|десятичный]]) основаниялаах логарифмнар туттуллаллар.

== Вещественнай логарифм ==
Вещественнай логарифм чыыһылата ([[Вещественное число|вещественного числа]]) <math>x=\log_a b</math> быһаарыытынан бу <math>a^x=b</math> уравнения суоттааһына буолар. Маннык түбэлтэ <math>a=1</math> буолар кыаҕа суох, тоҕо диэтэргин <math>b \ne 1</math>буоллаҕына уравнения суоттааһына табыллыбат, онтон <math>b=1</math> маннык тугэҥҥэ ханнык баҕарар чыыһыла эппиэт буолуон сөп; ити икки тугэннэргэ логарифм эппиэтэ суох буолар. Иннэ кынана мыннк эппиэккэ клэбит, <math>a</math> отрицательнай уонна нуол кыайан буолар кыаҕа суох; өссө ити үрдүнэн показательнай ([[Показательная функция|показательной функции]]) <math>a^x</math> функция наар положительнай буолар, ол иһин <math>b</math> кыайан отрицательнай буолбат. Оччоҕуна эппиэтпит маннык буолар: вещественнай логарифм <math>\log_a b</math> маннык усулуобуйаларга табыллар <math>a>0, a \ne 1, b>0</math>.

Элбэхтик туттулар логарифмнар:
* Натуральнай логарифм <math>\log_{e}\,b</math> или <math>\ln\,b</math>, основаниета: [[e (число)|число Эйлера]] (''<math>e</math>'');
* Десятичнай логарифм <math>\log_{10}\,b</math> или <math>\lg\,b</math>, основаниета: чыыһыла <math>10</math>;
* Двоичнай логарифм <math>\log_2\,b</math> или <math>\operatorname{lb}\,b</math>, основаниета: <math>2</math>. Кинилэр туттуллаллар: информация теориятыгар, инфроматикаҕа, дискретнай математика разделларыгар.

=== Свойстволара ===

=== Логарифм сүрүн тэҥнэһиилэрэ ===

Логарифм быһаарыытыттан тахсар тэҥнэһи:
 <math>a^{\log_a b} = b</math>
түмүк: икки вещественнай логарифмнар тэҥнэһиилэриттэн логарифмированнай этиллии тахсар. Өскөтүн <math>\log_a b=\log_a c</math>, оччоҕо <math>a^{\log_a b} = a^{\log_a c}</math>, сүрүн тождестваттан тахсар: <math>b=c</math>.

=== Логарифмнар, биир уонна тэҥ чыыһылалаах основаниялара ===

<math>\log_a 1 = 0;\; \log_a a = 1.</math>. Бу суоттааһыннар логарифм определениятыттан тахсаллар.

==== Төгүл, түҥэтии, степень уонна степень логарифмнара ====

{| class="wikitable"
|-
!  !! Формула !! Пример
|-
| Төгул ||<cite id=labelLogarithmProducts><math> \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y)</math></cite>|| <math> \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5</math>
|-
| Түҥэтии ||<math>\log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a (x) - \log_a (y)</math>|| <math> \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3</math>
|-
| Степень || <cite id=labelLogarithmPowers><math>\log_a(x^p) = p \log_a (x)</math></cite>|| <math> \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6</math>
|-
| Корень || <math>\log_a \sqrt[p]{x} = \frac {\log_a (x)} p</math>|| <math> \lg \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\lg 1000 = \frac{3}{2} = 1.5 </math>
|-
|}
<br />
Өскөтүн чыыһылалар отрицательнай буолра түгэннэригэр:

: <math>\log_a |x y| = \log_a |x| + \log_a |y|</math>
: <math>\log_a \!\left|\frac x y \right| = \log_a |x| - \log_a |y|</math>

Төгул логарифм формулата төһө баҕар улаатар:

: <math> \log_a(x_1 x_2 \dots x_n) = \log_a (x_1) + \log_a (x_2) + \dots + \log_a (x_n)</math>
: <math> \log_a |x_1 x_2 \dots x_n| = \log_a |x_1| + \log_a |x_2| + \dots + \log_a |x_n|</math>

==== Логарифм основаниятын уларытыы ====

<math>a</math> основаниялаах <math>\log_a b</math> логарифмы <math>c</math> основаниялаах атын логарифмҥа уларытыахха сөп:
: <math>\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}</math>
<math>b=c</math> - основания уонна логарифмируемай выражения уларыйар:
: <math>\log_a b = \frac {1}{\log_b a}</math>

== Литература == 
'''Теория логарифмов'''
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]
  |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu
  |заглавие=Справочник по элементарной математике |место=М. |издательство=Наука |год=1978
  |ref=Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике }}
** Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
  |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
  |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}
* {{книга |автор=Корн Г., Корн Т. |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu
  |заглавие=Справочник по математике (для научных работников и инженеров) |страниц=720
  |издательство=Наука |место=М. |год=1973 |ref=Корн Г., Корн Т. Справочник по математике }}
* {{книга |автор=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. |заглавие=Теория функций комплексной переменной
  |место=М. |издательство=Наука |год=1967 |страниц=304
  |ref=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной }}
* {{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]
  |заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления
  |издание=изд. 6-е |место=М. |издательство=Наука |год=1966 |страниц=680
  |ref=Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления }}
* {{книга |автор=Шахмейстер А. Х. |заглавие=Логарифмы. Пособие для школьников, абитуриентов и преподавателей
  |издание=изд. 5-е |место=СПб. |издательство=МЦНМО |год=2016 |страниц=288 |isbn=978-5-4439-0648-5 }}

[[Категория:Алгебра]]