Натуральнай чыыһыла

Натуральнай чыыһыла (лат. Naturalis - тустаах, сиэрдээх) – суотка тустаахтык тахсар чыыһыла (холобур, 1,2,3,4,5,6,7,8,9...). Натуральнай чыыһылалар кыраттан улахаҥҥа диэри улаатар утумнара-ситимнэрэ натуральнай эрээт дэнэр.

Натуральнай чыыһыланы быһаарар икки көрүҥ баар:

• Натуральнай чыыһыла – предмет ааҕарга анаммыт чыыһыла ( бастакы, иккис, үһүс, төрдүс, бэһис...)
• Натуральнай чыыһыла – предмет ахсаанын бэлиэтиир чыыһыла (ноль предмет, биир предмет, икки предмет, үс предмет....)

Мэлдьэхтээх уонна бүтүн буолбатах чыыһылалар натуральнай чыыһыла буолбаттар. Бары натуральнай чыыһыла множествота муҥура суох уонна $N$бэлиэнэн бэлиэтэнэр.

Натуральнай чыыһыла множествотын быһаарар аксиомалар

Пеано аксиомата натуральнай чыыһылаларга

$N$множествоны натуральнай чыыһыларар множестволара диибит, өскөтүн ханнык эрэ $1$ (биирдээх) элемент, $(S:N)$функция следования диэн ааттанар ($S$ функция $N$область определениялаах) буоллахтарына уонна бу усулуобуйаларга эппиэттиир буоллаҕына:

• Биирдээх элемент бу множествоҕа киирэр $1\in N$, ол аата натуральнай чыыһыла буолар;
• Натуральнай чыыһыла кэнниттэн кэлэр чыыһыла эмиэ натуральнай чыыһыла (өскөтүн $x\in N$ ол аата $S(x)\in N$);
• Биирдээх ханнык да натуральнай чыыһыла кэнниттэн турбат $(\nexists x\in N(S(x)=1)$;
• Өскөтүн $a$натуральнай чыыһыла быһа $b$ натуральнай чыыһыла уонна $c$ натуральнай чыыһыла кэнниттэн кэлэр буоллаҕына $b$ уонна $c$биир чыыһыла буолар (өскөтүн $S(b)=a$ уонна $S(c)=a$,оччоҕуна $b=c$);
• (индукция акциомата) өскөтүн ханнык эмит $P$ этии $n=1$ диэн натуральнай чыыһылаҕа дакаастаммыт уонна өскөтүн кини атын $n$ натуральный чыыһылаҕа сөп буоллаҕына, ол аата $n$ кэнниттэн кэлэр чыыһылаҕа уонна бары натуральнай чыыһылаларга сөп буолар.

Натуральнай чыыһылалар теоретико-множественнай определениелара (Фреге-Рассел определениета)

Теория множеств быһыытынан ханнык баҕарар математическай системаҕа соҕотох объектынан множество буолар.

Онон множество өйдҕбүлүттэн олоҕуран натуральнай чыыһылалар икки быраабыланан суруллаллар:

• $0=\varnothing ;$
• $S(n)=n\cup \{n\}$.
  Ити курдук бэриллибит чыыһылалар ординальнай диэн буолаллар. Аҕыйах инники ординальнай уонна киниэхэ сөп түбэһэр натуральнай чыыһылалары суруйан көрүөххэ:

• $0=\varnothing ;$
• $1=\varnothing \cup \{0\}=\{\varnothing \};$
• $2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\};$
• $3=2\cup \{2\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}.$

Натуральнай чыыһылалар операциялара

Бүтэй операцияҕа сыһыаннаһар арифметическай операциялар:

• Эбии: холбонооччу + холбонооччу = суумма;
• Төгүл: төгүллээччи × төгүллээччи = үөскэм;
• Степеҥҥэ үрдэтии: $ab$, ханна – $a$степень олоҕо, $b$ – степень көрдөрөөччүтэ. Өскөтүн $a$ уонна $b$ натуральнай чыыһыла буоллахтарына, түмүгэ эмиэ натуральнай чыыһыла буолар.
• Көҕүрэтии: көҕүрэтиллээччи – көҕүрэтээччи = араас. Көҕүрэтиллээччи көҕүрэтээччитээгэр улахан эбэтэр тэҥ буолуохтаах.
• Тобохтоох түҥэтии: түҥэтиллээччи / түҥэтээччи = өлүү, тобох. Туҥэтии өлүүтүн уонна тобоҕун быһаарар уравнение: $a=p\cdot b+r$, онуоха $0⩽r<b$.

Сүрүн свойстволар

• Эбии коммутотивноһа: $a+b=b+a$
• Төгүл коммутотивноһа: $a\cdot b=b\cdot a$
• Эбии ассоциативноһа: $(a+b)+c=a+(b+c)$
• Төгүл ассоциативноһа: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• Төгүл эбии туһугар дистрибутивноһа: $\{\begin{array}{c}(a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\ (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a)\end{array}$

Теоретико-множественнай определениялар

Тиһэх множество эквивалентноһын кылааһа натуральнай чыыһыла буоларын туһунан быһаарыыны туттуохха. Эквивалентность кылааһын $A$множествонан бэлиэтээтэххэ, биекциянан төрүттэммит квадратнай скобкалаах сүрүн арифметическай операциялар бу курдук буолаллар:

• $[A]+[B]=[A\cup B];$
• $[A]\cdot [B]=[A\times B];$
• $[A{]}^{[}B]=[A^B],$

Ханна:

• $A\cup B$ – дизъюнктивнай множестволар холбоһуулара;
• $A\times B$– көнө төгүл;
• $A^B$– B-тан A-ҕа көстүү множествота.
  
  Кылаастарга булуллубут операциялар сөпкө бэриллибиттэр диэн көрдөрүөххэ сөп, ол аата кылаас элеменын талалларыттан тутулуга суохтар уонна индуктивнай определениялары кытта сөп түбэһэллэр.

Литература

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Натуральное_число